一岁宝宝一只眼睛老流眼泪可能是因为感染了病毒性结膜炎引起的，可能宝宝还伴有眼睛分泌物增多的情况，可以在医生的指导下给宝宝用红霉素滴眼液进行治疗。如果症状比较严重，还需要通过服用抗病毒口服液、利巴韦林颗粒等药物进行治疗。平时注意宝宝眼部卫生。